Let $p$ be an odd prime and $q$ a power of $p$. By the celebrated theorem of Khare and Wintenberger (previously Serre's conjecture), an absolutely irreducible odd $2$-dimensional Galois representation $\bar{\rho}:\operatorname{G}_{\mathbb{Q}}\rightarrow \operatorname{GL}2(\mathbb{F}q)$ (satisfying favorable conditions) lifts to a characteristic zero Galois representation associated to a Hecke eigencuspform. Hamblen and Ramakrishna prove the analog of (the weak form of) Serre's conjecture for residually reducible $2$-dimensional Galois representations. A higher dimensional generalization of their result is proved in chapter three. Let $\bar{\rho}:\operatorname{G}{\mathbb{Q}}\rightarrow \operatorname{GSp}{2n}(\mathbb{F}q)$ be a reducible and indecomposable Galois representation which is unramified outside a finite set of primes $S$ and whose image lies in a Borel subgroup. It is shown that if $\bar{\rho}$ satisfies some additional conditions, it lifts to characteristic zero Galois representation which is geometric in the sense of Fontaine-Mazur. \par In chapter four, we examine the problem of lifting a two dimensional Galois representation $\bar{\rho}:\operatorname{G}{\mathbb{Q},S}\rightarrow \operatorname{GL}2(\mathbb{F}q)$ to a cuspidal Hida Family which is isomorphic to the Iwasawa algebra $\Lambda$ via the weight-space map. This was achieved for an odd, ordinary and absolutely irreducible $\bar{\rho}$ by Ramakrishna for a suitable choice of auxiliary local deformation conditions. We show that if $\bar{\rho}$ is reducible and indecomposable, one may indeed lift $\bar{\rho}$ to a Hida family $\mathbb{T}$ such that the image of the weight space map contains a congruence class of weights in $\operatorname{Spec} \Lambda$ modulo $p^2$. This Hida family is in some sense close to $\operatorname{Spec} \Lambda$, more precisely, we show that it represents a deformation functor which is arranged to have a hull isomorphic to $\operatorname{Spec} \Lambda$ (this isomorphism is not via the weight-space map). In chapter five, we apply results of Hamblen-Ramakrishna to construct some special Galois extensions. For every prime $p\geq 5$ for which a certain condition on the class group $\operatorname{Cl}(\mathbb{Q}(\mu_p))$ is satisfied, we construct a $p$-adic analytic Galois extension of the infinite cyclotomic extension $\mathbb{Q}(\mu{p^{\infty}})$ with some special ramification properties. In greater detail, this extension is unramified at primes above $p$ and tamely ramified above finitely many rational primes and its Galois group over $\mathbb{Q}(\mu{p^{\infty}})$ is isomorphic to a finite index subgroup of $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}_p)$ which contains the principal congruence subgroup. For the primes $107,139,271$ and $379$ such extensions were first constructed by Ohtani and Blondeau. The strategy for producing these special extensions at an abundant number of primes is through lifting two-dimensional reducible Galois representations which are diagonal when restricted to $p$.

Soit $p$ un nombre premier impair et $q$ une puissance de $p$. Par le célèbre théorème de Khare et Wintenberger (auparavant la conjecture de Serre), une représentation galoisienne absolument irréductible de $2$ $\bar{\rho}:\operatorname{G}_{\mathbb{Q}}\rightarrow \operatorname{GL}2(\mathbb{F}q)$ (satisfaisant à des conditions favorables) se lève vers une représentation galoisienne caractéristique associée à un eigencuspform de Hecke. Hamblen et Ramakrishna prouvent l'analogue de (la forme faible de) la conjecture de Serre pour les représentations galoisiennes à $2$ -dimensionnelles résiduellement réductibles. Une généralisation dimensionnelle supérieure de leur résultat est démontrée au chapitre trois. Soit $\bar{\rho}:\operatorname{G}{\mathbb{Q}}\rightarrow \operatorname{GSp}{2n}(\mathbb{F}q)$ une représentation galoisienne réductible et indécomposable qui est non ramifié en dehors d'un ensemble fini de nombres premiers $S$ et dont l'image se trouve dans un sous-groupe Borel. Il est montré que si $\bar{\rho}$ remplit certaines conditions supplémentaires, il passe à une représentation galoisienne caractéristique zéro qui est géométrique au sens de Fontaine-Mazur. \par Dans le chapitre quatre, nous examinons le problème de la levée d'une représentation galoisienne bidimensionnelle $\bar{\rho}:\operatorname{G}{\mathbb{Q},S}\rightarrow \operatorname{GL}2(\mathbb{F}q)$ à une famille Hida cuspidale qui est isomorphe à l'algèbre Iwasawa $\Lambda$ via la carte de l'espace de poids. Ceci a été réalisé pour un $\bar{\rho}$ impair, ordinaire et absolument irréductible par Ramakrishna pour un choix approprié de conditions de déformation locale auxiliaire. Nous montrons que si $\bar{\rho}$ est réductible et indécomposable, on peut en effet soulever $\bar{\rho}$ dans une famille Hida $\mathbb{T}$ de telle sorte que l'image de la carte d'espace de poids contienne une classe de congruence de poids dans $\operatorname{Spec} \Lambda$ modulo $p^2$. Cette famille Hida est en quelque sorte proche de $\operatorname{Spec} \Lambda$, plus précisément, nous montrons qu'elle représente un foncteur de déformation qui est arrangé pour avoir une coque isomorphe à $\operatorname{Spec} \Lambda$ (ce l'isomorphisme ne se fait pas via la carte poids-espace). Dans le chapitre cinq, nous appliquons les résultats de Hamblen-Ramakrishna pour construire des extensions Galois spéciales. Pour chaque $p\geq 5$ premier pour lequel une certaine condition du groupe de classes $\operatorname{Cl}(\mathbb{Q}(\mu_p))$ est satisfaite, nous construisons une extension galois analytique $p$ -adic de l'extension cyclotomique infinie $\mathbb{Q}(\mu{p^{\infty}})$ avec quelques propriétés de ramification spéciales. Plus en détail, cette extension n'est pas ramifiée aux nombres premiers supérieurs à $p$ et se ramifie tamely au-dessus d'un nombre fini de nombres premiers rationnels et de son groupe de Galois sur $\mathbb{Q}(\mu{p^{\infty}})$ est isomorphe à un sous-groupe d'index fini de $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}_p)$ qui contient le sous-groupe de congruence principal. Pour les nombres premiers $107,139,271$ et $379$, de telles extensions ont d'abord été construites par Ohtani et Blondeau. La stratégie pour produire ces extensions spéciales à un nombre abondant de nombres premiers consiste à lever les représentations galoisiennes bidimensionnelles réductibles qui sont diagonales lorsqu'elles sont limitées à $p$.